Решение олимпиады по математике

Решение заданий олимпиады по математике 9 класс

1.

Да, существуют: 64 и 81.
Рассмотрим все двузначные числа, являющиеся квадратами целых чисел.
Корни из чисел 16, 25 и 36 не могут быть извлечены указанным способом,
так как квадратные корни из их последних цифр не являются целыми.
Числа 49, 64 и 81 являются решениями.

2.

Ответ: 90°.

3.

Ответ: имеет смысл идти.
Пусть мальчик пошел к следующей остановке и в какой-то момент заметил автобус.
Скорость автобуса в четыре раза больше скорости мальчика, поэтому за одно и то же время автобус проезжает расстояние в четыре раза больше.
Пусть мальчик пробежит х км, тогда автобус проедет 4х км.
В случае, если они двигаются навстречу друг другу, до встречи с автобусом мальчик пробежит 2/5 км.
Это значит, что, отойдя от остановки не более, чем на 2/5 км, мальчик сможет успеть на автобус, побежав назад.
В случае, если автобус догоняет мальчика, мальчик успеет пробежать 2/3 км до момента, когда автобус его догонит.
Это означает, что он сможет успеть на автобус, если до следующей остановки осталось не более 2/3 км, то есть, если он успел пройти не менее 1/3 км до момента, когда заметил автобус.
Так как, 1/3 < 2/5 , то у мальчика всегда будет возможность успеть на автобус и имеет смысл идти.

4.

Ответ: 7 клеток.

Олимпиады по математике для 9 класса     вариант 1       вариант 2

Решения заданий олимпиады по математике для 9 класса     вариант 1       вариант 2