Решение олимпиады по математике 10 класс

Решение заданий олимпиады по математике 10 класс

Решение заданий олимпиады по математике 10 класс

Задание 1.

Постройте эскиз графика функции: .
Решение.

Отсюда график:

 

Задание 2.

Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения положительны.
Ответ. .
Решение. Если (а + 1) = 0, то уравнение будет линейным, и его корнем при а = -1 является х = 1. Подходит.
Если а > -1, то уравнение будет квадратным. По теореме Виета его корни положительны тогда и только тогда, когда выполняется

.
С учетом первого случая получаем ответ .

Задание 3.

Общая хорда двух пересекающихся окружностей служит для одной из них стороной правильного вписанного четырехугольника, а для другой стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей окружности равен 10 см?
Ответ. .

Решение.

 

 

 

 

 

Рис1.         Рис 2.
В этой задаче возможны два варианта расположения центра меньшей окружности: Снаружи и внутри большей окружности. Оба варианта расположения изображены на рисунках 1 и 2. В первом случае расстояние между центрами окружностей равно сумме длин высоты равнобедренного прямоугольного треугольника, из которых сложен вписанный квадрат, и высоты равностороннего треугольника, из которого сложен правильный вписанный шестиугольник. Во втором случае – их разность.
Так как диагональ квадрата является диаметром меньшей окружности, то длина стороны квадрата равна см, и равна длине общей хорды окружностей. Следовательно, радиус большей окружности равен см. Тогда длина первой высоты равна см, а длина второй высоты равна .

Задание 4.

М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

Ответ. Хватит.

Решение.

Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100 - х)%. После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс . Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

Задание 5.

Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?

Ответ. Существует.

Решение.

Число диагоналей выпуклого многоугольника считается по формуле: . (Можно считать этот факт известным). Составим и решим уравнение. . Таким образом, условию задачи удовлетворяет выпуклый двадцатитрехугольник.

Олимпиады по математике для 10 класса     Математика 10 класс, вариант 1       вариант 2

Решения заданий олимпиады по математике для 10 класса     вариант 1       вариант 2