Задания олимпиады по математике 11 класс

Задания олимпиады по математике

Задания олимпиады по математике 11 класс

Вариант 2

Задание 1.

Найдите такое натуральное число k, что 2008! делится на 2007^k, но не делится на 2008^k.
(Напомним, что n! = 1·2·3·4·… ·n).

Задание 2.

Может ли вершина параболы y = 4x² – 4(a + 1)x + a
лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

Задание 3.

(an) – арифметическая прогрессия с разностью 1.
Известно, что S₂₀₀₈ - наименьшая среди всех S_n (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n).
Какие значения может принимать первый член прогрессии?

Задание 4.

Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный треугольник АВС,
в котором АС = ВС = 1, угол С = 120°.
Две вершины А и В могут лежать либо на одной стороне большого треугольника, либо на двух.
Где при этом может оказаться вершина тупого угла – точка С?
Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите длину соответствующей линии.

Задание 5.

Клетчатая прямоугольная сетка m x n связана из веревочек единичной длины.
Двое делают ходы по очереди.
За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную веревочку.
Если не останется ни одного замкнутого веревочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим.
Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?

Олимпиады по математике для 11 класса     вариант 1       вариант 2

Решения заданий олимпиады по математике для 11 класса     вариант 1        вариант 2