Международная олимпиада по физике

Международная олимпиада школьников по физике с решением

Задача 1 :

Условие :



Рис. 1.

С одной из пластин изначально незаряженного конденсатора мгновенно отделяется тонкий слой вещества, несущий заряд q. Затем он движется поступательно как целое с постоянной скоростью υ по направлению к противоположной пластине (рис. 1). Найдите зависимость тока в цепи от времени, пока слой движется в конденсаторе. Расстояние между пластинами конденсатора D, площадь поперечного сечения пластин S, индуктивность катушки L.




Решение :



Рис. 2.

Сразу после испарения слоя вещества ток в цепи будет равен нулю, заряд на левой пластинке будет равен q, а на правой заряда не будет. Теперь рассмотрим произвольный момент времени (рис. 2). По закону сохранения заряда, если на правой пластинке появится заряд Q, то на левой будет заряд (– q – Q). Напряжение на конденсаторе будет создаваться полями трех заряженных пластин:
где t – время, которое отсчитывается от момента испарения слоя. Запишем закон Ома для нашей цепи:
Продифференцируем обе части этого уравнения по t:
Общее решение этого дифференциального уравнения
Из начальных условий I = 0 и dI / dt = 0 при t = 0 (так как U_c(0) = 0) следует, что решение имеет вид:


Задача 2 :

Условие :



Рис. 1.

Гладкая проволока изогнута так, что если совместить ось Oу с одной ее частью, то другая часть проволоки будет совпадать с графиком функции у = aх³ при x > 0 (рис. 1). Проволока равномерно вращается вокруг вертикальной оси Oу с угловой скоростью ω. На нее надета бусинка M, которая может скользить вдоль проволоки с пренебрежимо малым трением. Найдите координаты x⁰ и y⁰ равновесного положения бусинки и период Т малых колебаний относительно этого положения.


Решение:





Рис. 2.

Касательная к проволоке в точке

– положении равновесия бусинки – составляет угол

с осью Oх,
причем


Второй закон Ньютона в проекции на эту касательную имеет вид:

Находим

Пусть Δx и Δy – смещения бусинки при малых колебаниях, тогда

Малое смещение бусинки вдоль проволоки

В системе отсчета, вращающейся вместе с проволокой, кинетическая энергия бусинки

потенциальная энергия в полях силы тяжести и центробежной силы

Следует

поэтому
Выразим полную механическую энергию через s:

Энергия гармонических колебаний имеет вид
что соответствует нашему случаю (k – эффективная жесткость). Период колебаний


         Международная олимпиада по физике         Заключительный этап олимпиады по физике